ルート3 - Quasi

x^2=1の解はx=1,x=-1の二つある。x^3=1の解なら、（書くのが面倒だが）3つある。じゃあ、(xの「ルート3」乗）=1の解は???
無限個ありますなぁ。。。。。。

っていうのを読んで、あれ、そうだっけとかおもって考えてみる。

$x^n = 1$ の解は複素平面に半径1の単位円をかいて、n 等分すればいいから、2πをルート3等分して、……ちょっと待ってルート3等分って何。

(……しばらくお待ちください)

仕切り直し(笑)

x は絶対値が1の複素数なので $x = e^{i\theta}$ とおいて、

$x^{\sqrt{3}} = e^{i\sqrt{3}\theta} = \cos(\sqrt{3}\theta) + i\sin(\sqrt{3}\theta) = 1$

なので、

$\theta = \frac{2m\pi}{\sqrt{3}}$

ってことで、

$x = e^{\frac{2m\pi}{\sqrt{3}}i}$

たしかに、無限にありました。無理数おそるべし。っていうかボケすぎ。